400年前，普法尔茨的鲁珀特亲王提出一个几何问题——能否在一个立方体上开洞，让另一个同等大小的立方体穿过。当时人们认为这不可能，然而鲁珀特亲王赢得赌金（虽此事真实性存疑）。问题关键在于对“洞”的理解，可从投影入手，当投影面积最大时，立方体影子是正六边形，其中隐藏着可穿过的最大正方形。历经约一个世纪，荷兰数学家彼得·纽兰德给出单位立方体可穿过最大立方体的精确答案。数学家还推广出“鲁珀特性质”，将该问题拓展到多面体和高维空间，目前已知部分多面体具备此性质。
布尔甘切片问题：高维几何的挑战
20世纪，数学家从不同角度思考高维凸几何体最大截面的一致下界。1980年代，让·布尔甘提出“布尔甘切片问题”，即是否存在常数c>0，使体积为1的凸体K存在超平面H，K∩H的(n- 1)维体积至少为c。此问题看似显然，实则精妙。让·布尔甘是传奇数学家，在多个核心领域贡献卓越，但他生前未解决该问题。
高维世界的复杂性与应用
高维世界物体行为违背直觉，如高维球、立方体体积集中现象，借助这些结论可推知一些概率极限。Busemann–Petty问题也体现高维空间截面与整体体积关系的复杂性，在五维及以上空间结论反直觉。布尔甘切片问题反映高维几何复杂性，其研究是“驯服”高维世界的尝试，且高维几何与概率论相互促进。
里程碑式突破：布尔甘切片问题获解
2024年12月，博阿兹·克拉塔格和约瑟夫·勒埃克宣告解决布尔甘切片问题。他们结合关庆扬基于随机局部化技术得到的结果、米尔曼的M -椭球理论等，确立凸体迷向常数有界定理。此前克拉塔格得到n维欧氏空间里迷向常数上确界Ln的约束，关庆扬将其改进。克拉塔格和勒埃克看到关庆扬论文后迅速解决难题。该突破为高维几何学及相关应用领域提供新理论基础和工具，如在几何层析成像、随机游走算法等方面有重要意义。
后续：克拉塔格的新征程
证明布尔甘切片问题后，47岁的克拉塔格开启对晶格理论的研究，今年4月在离散几何领域取得里程碑式成果。
